5.1 幂级数回顾

在本章中，我们讨论使用幂级数来构造二阶线性微分方程的基本解集，这些方程的系数是自变量的函数。我们首先非常简要地总结一下我们需要的关于幂级数的相关结果。熟悉幂级数的读者可以继续阅读第 5.2 节。需要比这里提供的更多细节的读者应该查阅微积分书籍。

1. 一个幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 被称为在点 $x$ 处收敛，如果

$$\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^{m} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

对于该 $x$ 存在。该级数肯定在 $x=x_{0}$ 处收敛；它可以对所有 $x$ 收敛，或者它可以对某些 $x$ 值收敛而对其他值不收敛。 2. 一个幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 被称为在点 $x$ 处绝对收敛，如果相关的幂级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right|\left|x-x_{0}\right|^{n}$$

收敛。可以证明，如果幂级数绝对收敛，那么该幂级数也收敛；然而，逆命题不一定成立。 3. 检验幂级数绝对收敛的最有用的检验方法之一是比率检验：如果 $a_{n} \neq 0$，并且对于一个固定的 $x$ 值，如果

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}}\right|=\left|x-x_{0}\right| \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x-x_{0}\right| L$$

那么，如果 $\left|x-x_{0}\right| L<1$，则幂级数在该 $x$ 值处绝对收敛，如果 $\left|x-x_{0}\right| L>1$，则发散。如果 $\left|x-x_{0}\right| L=1$，则比率检验无法得出结论。

示例 1

对于哪些 $x$ 值，幂级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n(x-2)^{n}=(x-2)-2(x-2)^{2}+3(x-2)^{3}-\cdots$$

收敛？

解：

我们首先使用比率检验来检验绝对收敛性。我们有

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{n+2}(n+1)(x-2)^{n+1}}{(-1)^{n+1} n(x-2)^{n}}\right|=|x-2| \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=|x-2| \text {. }$$

“

根据陈述 3，该级数在 $|x-2|<1$ 时绝对收敛，即在 $1<x<3$ 时收敛，并且在 $|x-2|>1$ 时发散。对应于 $|x-2|=1$ 的 $x$ 值为 $x=1$ 和 $x=3$。对于这些 $x$ 值，该级数发散，因为该级数的第 $n$ 项在 $n \rightarrow \infty$ 时不趋于零。这个幂级数在 $1<x<3$ 时（绝对）收敛，在 $x \leq 1$ 和 $x \geq 3$ 时发散。 4. 如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $x=x_{1}$ 处收敛，则它在 $\left|x-x_{0}\right|<\left|x_{1}-x_{0}\right|$ 时绝对收敛；并且如果它在 $x=x_{1}$ 处发散，则它在 $\left|x-x_{0}\right|>\left|x_{1}-x_{0}\right|$ 时发散。 5. 对于典型的幂级数，例如例 1 中的幂级数，存在一个正数 $\rho$，称为收敛半径，使得 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 时绝对收敛，在 $\left|x-x_{0}\right|>\rho$ 时发散。区间 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 称为收敛区间；它在图 5.1.1 中用阴影线表示。当 $\left|x-x_{0}\right|=\rho$ 时，级数可能收敛或发散。许多重要的幂级数对于所有 $x$ 值都收敛。在这种情况下，通常说 $\rho$ 是无限的，并且收敛区间是整个实数线。幂级数也可能只在 $x_{0}$ 处收敛。对于这样的级数，我们说 $\rho=0$，并且该级数没有收敛区间。当考虑到这些例外情况时，每个幂级数都有一个非负的收敛半径 $\rho$，并且如果 $\rho>0$，则存在一个以 $x_{0}$ 为中心的（有限或无限）收敛区间。

图 5.1.1 幂级数的收敛区间。

示例 2

确定幂级数的收敛半径

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n 2^{n}}$$

解：

我们应用比率检验：

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}} \frac{n 2^{n}}{(x+1)^{n}}\right|=\frac{|x+1|}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=\frac{|x+1|}{2} .$$

因此，该级数在 $|x+1|<2$ 时绝对收敛，即在 $-3<x<1$ 时收敛，并且在 $|x+1|>2$ 时发散。该幂级数的收敛半径为 $\rho=2$。最后，我们检查收敛区间的端点。在 $x=1$ 时，该级数变为调和级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

该级数发散。在 $x=-3$ 时，我们有

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3+1)^{n}}{n 2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$$

将此识别为交错调和级数，我们记得它是收敛的，但不是绝对收敛的。据说该幂级数在 $x=-3$ 时有条件收敛。总结一下，给定的幂级数在 $-3 \leq x<1$ 时收敛，否则发散。它在 $-3<x<1$ 时绝对收敛，收敛半径为 2。

假设对于 $\left|x-x_{0}\right|<\rho, \rho>0$，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 分别收敛于 $f(x)$ 和 $g(x)$。 6. 这两个级数可以逐项相加或相减，并且

$$f(x) \pm g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

所得级数至少在 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 时收敛。 7. 这两个级数可以正式相乘，并且

$$f(x) g(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

其中 $c_{n}=a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{0}$。所得级数至少在 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 时收敛。 ”

进一步，如果 $b_{0} \neq 0$，那么 $g\left(x_{0}\right) \neq 0$，并且 $f(x)$ 的级数可以被 $g(x)$ 的级数形式上除，且

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} d_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} .$$

在大多数情况下，系数 $d_{n}$ 可以通过在等价关系中等同系数最容易地获得

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} & =\left[\sum_{n=0}^{\infty} d_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right]\left[\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right] \\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n} d_{k} b_{n-k}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n} \end{aligned}$$

在除法的情况下，所得幂级数的收敛半径可能小于 $\rho$。 8. 函数 $f$ 是连续的，并且对于 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 具有所有阶的导数。此外，$f^{\prime}, f^{\prime \prime}, \ldots$ 可以通过逐项微分级数来计算；也就是说，

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) & =a_{1}+2 a_{2}\left(x-x_{0}\right)+\cdots+n a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}+\cdots \\ & =\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1} \\ f^{\prime \prime}(x) & =2 a_{2}+6 a_{3}\left(x-x_{0}\right)+\cdots+n(n-1) a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-2}+\cdots \\ & =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-2} \end{aligned}$$

等等，并且每个级数对于 $\left|x-x_{0}\right|<\rho$ 绝对收敛。 9. $a_{n}$ 的值由下式给出

$$a_{n}=\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!} .$$

该级数被称为函数 $f$ 关于 $x=x_{0}$ 的泰勒 ${ }^{1}$ 级数。 10. 如果对于某个以 $x_{0}$ 为中心的开区间内的每个 $x$，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 成立，那么对于 $n=0,1,2,3, \ldots$，有 $a_{n}=b_{n}$。特别地，如果对于每个这样的 $x$，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=0$ 成立，那么 $a_{0}=a_{1}=\cdots=a_{n}=\cdots=0$。 函数 $f$ 在 $x=x_{0}$ 处具有泰勒级数展开式

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$$

并且收敛半径为 $\rho>0$，则称 $f$ 在 $x=x_{0}$ 处是解析的。微积分中所有常见的函数都是解析的，除了可能在某些容易识别的点处。例如，$\sin x$ 和 $e^{x}$ 在任何地方都是解析的，$1 / x$ 除了在 $x=0$ 处是解析的，而 $\tan x$ 除了在 $\pi / 2$ 的奇数倍数处是解析的。根据语句 6 和 7，如果 $f$ 和 $g$ 在 $x_{0}$ 处是解析的，那么 $f \pm g, f \cdot g$, 和 $f / g$ (只要 $g\left(x_{0}\right) \neq 0$) 也在 $x=x_{0}$ 处是解析的。在许多方面，使用幂级数的自然背景是复平面。本章的方法和结果几乎总是可以直接扩展到自变量和因变量是复值的微分方程。

求和指标的移动。无穷级数中的求和指标是一个哑参数，就像定积分中的积分变量是一个哑变量一样。因此，哪个字母用于求和指标并不重要。例如，

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n} x^{n}}{n!}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{2^{j} x^{j}}{j!}$$

正如我们在定积分中改变积分变量一样，我们发现改变求和指标在计算微分方程的级数解时很方便。我们通过几个例子来说明如何移动求和指标。

[^0]

示例 3

将 $\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 写成一个级数，其第一项对应于 $n=0$ 而不是 $n=2$。

解：

令 $m=n-2$；那么 $n=m+2$，并且 $n=2$ 对应于 $m=0$。因此

$$\begin{equation*} \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m+2} x^{m+2} . \tag{1} \end{equation*}$$

通过写出每个级数的前几项，你可以验证它们包含完全相同的项。最后，在等式(1)右侧的级数中，我们可以用 $n$ 替换哑变量索引 $m$，得到

$$\begin{equation*} \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^{n+2} \tag{2} \end{equation*}$$

实际上，我们将索引向上移动了 2，并通过从比原来低 2 的级别开始计数来进行补偿。

示例 4

将级数

$$\begin{equation*} \sum_{n=2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-2} \tag{3} \end{equation*}$$

写成一个通项包含 $\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 而不是 $\left(x-x_{0}\right)^{n-2}$ 的级数。

解：

同样，我们将索引移动 2，使得 $n$ 被 $n+2$ 替换，并从低 2 的位置开始计数。我们得到

$$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}(n+4)(n+3) a_{n+2}\left(x-x_{0}\right)^{n} . \tag{4} \end{equation*}$$

你可以很容易地验证级数 (3) 和 (4) 中的项完全相同。

示例 5

将表达式

$$\begin{equation*} x^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(r+n) a_{n} x^{r+n-1} \tag{5} \end{equation*}$$

写成一个通项包含 $x^{r+n}$ 的级数。

解：

首先，将 $x^{2}$ 移入求和符号内，得到

$$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}(r+n) a_{n} x^{r+n+1} \tag{6} \end{equation*}$$

接下来，将索引向下移动 1，并从高 1 的位置开始计数。因此

$$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}(r+n) a_{n} x^{r+n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}(r+n-1) a_{n-1} x^{r+n} \tag{7} \end{equation*}$$

同样，你可以很容易地验证等式 (7) 中的两个级数是相同的，并且都与表达式 (5) 完全相同。

示例 6

假设对于所有 $x$，

$$\begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \tag{8} \end{equation*}$$

成立，并确定这对于系数 $a_{n}$ 意味着什么。

解：

我们希望使用陈述 10 来比较这两个级数中对应的系数。为了做到这一点，我们必须首先重写等式 (8)，以便这些级数在它们的通项中显示相同的 $x$ 的幂。例如，在等式 (8) 左侧的级数中，我们可以用 $n+1$ 替换 $n$，并从低 1 的位置开始计数。因此，等式 (8) 变为

$$\begin{equation*} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \tag{9} \end{equation*}$$

根据陈述 10，我们得出结论

$$(n+1) a_{n+1}=a_{n}, \quad n=0,1,2,3, \ldots$$

或者

$$\begin{equation*} a_{n+1}=\frac{a_{n}}{n+1}, \quad n=0,1,2,3, \ldots \tag{10} \end{equation*}$$

因此，在等式 (10) 中选择 $n$ 的连续值，我们有

$$a_{1}=a_{0}, \quad a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{a_{0}}{2}, \quad a_{3}=\frac{a_{2}}{3}=\frac{a_{0}}{3!},$$

等等。一般来说，

$$\begin{equation*} a_{n}=\frac{a_{0}}{n!}, \quad n=1,2,3, \ldots \tag{11} \end{equation*}$$

因此，关系式 (8) 将所有后续的系数用 $a_{0}$ 表示。最后，使用等式 (11) 给出的系数，我们得到

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{0}}{n!} x^{n}=a_{0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=a_{0} e^{x},$$

这里我们遵循通常的约定 $0!=1$，并回忆起对于所有 $x$，$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$。（参见问题 8。）

问题

在问题 1 到 6 的每一个中，确定给定幂级数的收敛半径。

1. $\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}$
2. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} x^{n}$
3. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n!}$
4. $\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}$
5. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}$
6. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}(x+2)^{n}}{3^{n}}$

In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point $x_{0}$ for the given function. Also determine the radius of convergence of the series. 7. $\sin x, x_{0}=0$ 8. $e^{x}, x_{0}=0$ 9. $x, x_{0}=1$ 10. $x^{2}, x_{0}=-1$ 11. $\ln x, x_{0}=1$ 12. $\frac{1}{1-x}, \quad x_{0}=0$ 13. $\frac{1}{1-x}, \quad x_{0}=2$ 14. Let $y=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}$. a. Compute $y^{\prime}$ and write out the first four terms of the series. b. Compute $y^{\prime \prime}$ and write out the first four terms of the series. 15. Let $y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$. a. Compute $y^{\prime}$ and $y^{\prime \prime}$ and write out the first four terms of each series, as well as the coefficient of $x^{n}$ in the general term. b. Show that if $y^{\prime \prime}=y$, then the coefficients $a_{0}$ and $a_{1}$ are arbitrary, and determine $a_{2}$ and $a_{3}$ in terms of $a_{0}$ and $a_{1}$. c. Show that $a_{n+2}=\frac{a_{n}}{(n+2)(n+1)}, n=0,1,2,3, \ldots$.

In each of Problems 16 and 17, verify the given equation. 16. $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}(x-1)^{n}$ 17. $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1} x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k+1}=a_{1}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k+1}+a_{k-1}\right) x^{k}$

In each of Problems 18 through 22, rewrite the given expression as a single power series whose generic term involves $x^{n}$. 18. $\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}$ 19. $x \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 20. $\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_{m} x^{m-2}+x \sum_{k=1}^{\infty} k a_{k} x^{k-1}$ 21. $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 22. $x \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 23. Determine the $a_{n}$ so that the equation

$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0$$

在问题 7 到 13 中，确定给定函数关于点 $x_{0}$ 的泰勒级数。同时确定级数的收敛半径。 7. $\sin x, x_{0}=0$ 8. $e^{x}, x_{0}=0$ 9. $x, x_{0}=1$ 10. $x^{2}, x_{0}=-1$ 11. $\ln x, x_{0}=1$ 12. $\frac{1}{1-x}, \quad x_{0}=0$ 13. $\frac{1}{1-x}, \quad x_{0}=2$ 14. 设 $y=\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}$。 a. 计算 $y^{\prime}$ 并写出级数的前四项。 b. 计算 $y^{\prime \prime}$ 并写出级数的前四项。 15. 设 $y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$。 a. 计算 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime \prime}$ 并写出每个级数的前四项，以及一般项中 $x^{n}$ 的系数。 b. 证明如果 $y^{\prime \prime}=y$，那么系数 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 是任意的，并用 $a_{0}$ 和 $a_{1}$ 表示 $a_{2}$ 和 $a_{3}$。 c. 证明 $a_{n+2}=\frac{a_{n}}{(n+2)(n+1)}, n=0,1,2,3, \ldots$。

在问题 16 和 17 中，验证给定的等式。 16. $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}(x-1)^{n}$ 17. $\sum_{k=0}^{\infty} a_{k+1} x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k+1}=a_{1}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k+1}+a_{k-1}\right) x^{k}$

在问题 18 到 22 中，将给定的表达式重写为单个幂级数，其通项包含 $x^{n}$。 18. $\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}$ 19. $x \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 20. $\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_{m} x^{m-2}+x \sum_{k=1}^{\infty} k a_{k} x^{k-1}$ 21. $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 22. $x \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 23. 确定 $a_{n}$，使得等式

$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0$$